2016-2017第二学期概率论期末考试

一、(1)求泊松分布\(P(\lambda)\)的方差和母函数;

(2)求正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)的期望和特征函数.

二、若\(\xi\)与\(\eta\)相互独立，且分别服从\(\Gamma(r_1,\lambda)\)及\(\Gamma(r_2,\lambda)\)，试求\(\alpha = \xi + \eta\)与\(\beta = \dfrac{\xi}{\xi+\eta}\)的联合密度函数\(q(u,v)\)，并证明\(\alpha\)与\(\beta\)独立.

三、(1)\(X,Y\)服从均匀分布\(U[0,1]\)，求\(Z=X+Y\)的分布；

(2)\(\xi,\eta\)服从正态分布\(N(0,1)\)，求\(\zeta = \xi - \eta\)的分布.

四、(1)叙述两随机变量不相关和独立的定义；

(2)举出不相关但不独立的例子；

(3)设随机变量\(\xi\)与\(\xi\)独立，证明\(\exists C > 0\)，使得\(P\{\xi = C\} = 1\).

五、(1)叙述大数定理的定义；

(2)证明Chebyshev不等式；

(3)设\(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n,\cdots\)是两两不相关的随机变量序列，且\(\exists C > 0\)，使得\(D\xi_i\leqslant C(i=1,2,\ldots)\)，证明\(\{\xi_i\}\)服从大数定律.

六、(1)叙述弱收敛的定义；

(2)设\(f(x)\)是\([a,b]\)上的连续函数，又\(\{F_n(x)\}\)是在\([a,b]\)上弱收敛于函数\(F(x)\)的一致有界非降函数序列，且\(a\)和\(b\)是\(F(x)\)的连续点，证明

\[\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}F_n(x) = \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}F(x).\]