2016-2017第一学期数学分析3-3期末考试

一、计算\(\displaystyle \int_{L} (x^2-2xy)\mathrm{d}x+(y-2x)\mathrm{d}y\).其中\(L\)是曲线\(y=x^3\)由(1,1)到(0,0)的路径.

二、计算\(\displaystyle \iint_{S}(x^2+2y^2+3z^2)\mathrm{d}S\).其中\(S:x^2+y^2+z^2=a^2(a>0)\).

三、写出\(f(x)=\cos^2x,g(x)=\sin x^2\)在\(x_0=0\)处的幂级数.

四、写出\(\dfrac{[2^n+(-1)^n]^n}{3^n}x^n\)的收敛区间，并求其和函数.

五、讨论\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\cos x^p\)的收敛性.\((p>0)\)

六、证明\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}xe^{-nx}\)在\((0,+\infty)\)内闭一致收敛但非一致收敛.

七、已知\(\displaystyle f(x)=\begin{cases}x&,&0\leqslant x\leqslant\pi\\0&,&-\pi\leqslant x<0\end{cases}\)写出\(f(x)\)的傅里叶级数并求其和函数.

八、证明\(\displaystyle F(y)=\int_{0}^{+\infty}e^{-x^y}\)在\((0,+\infty)\)连续.

九、已知\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n_{_k}+1}+\cdots+a_{n_{_{k+1}}})\)收敛，\(M_k=\max\limits_{p\leqslant n_{_{k+1}}-n_k}|a_{n_{_k}+1}+\cdots+a_{n_{_k}+p}|\). 证明：\(\displaystyle \lim\limits_{k\rightarrow\infty}M_k=0 \Longleftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收敛.