2016-2017第一学期复变函数期末考试

一、求\(\displaystyle \int_{C}\dfrac{2z^2-z+1}{(z-1)(z-3)}\)，其中\(C:|z|=2\).

二、\(f(w)\)在\(\{w|1<|w|<+\infty\}\)内解析，证明：\(\displaystyle \int_{C}f(\dfrac{1}{z^2})\mathrm{d}z=0\).

三、将\(\dfrac{1}{z(z-1)}\)在\(\infty\)处洛朗展开，并判断奇点类型\((1<|z|<+\infty)\).

四、证明：\(f(z)\)以\(z_0\)为\(n\)阶极点\(\Longleftrightarrow\)存在\(\varphi(z)=(z-z_0)^nf(z)\).

五、

(1)写出\(f(z)\)，\(f'(z)\)在邻域\(B_2(0)\)的柯西积分公式.

(2)已知\(|f'(z)|\leqslant 2M\)，若\(f(z)\leqslant M\)，\(\forall z \in \partial B_2(0)\)，证明\(f'(z)\leqslant 2M\)，\(\forall z \in B_1(0)\).

(3)\(f'(z)\)在\(B_2(0)\)有界还是无界？

六、已知\(f(z)\)的零点和极点都在邻域\(B_1(0)\)中.

(1)写出\(f(z)\)在\(B_1(0)\)上的幅角原理.

(2)证明\(N(f+g,B_1(0))-P(f+g,B_1(0))=N(f,B_1(0))-P(f,B_1(0))\).

(3)\(\sqrt[n]{f(z)}\)不以\(\infty\)为支点，则\(n\)与\(N(f,B_1(0))-P(f,B_1(0))\)有什么关系?