2015-2016第二学期高等代数2-2期末考试

一、已知曲面\(2xy+2xz+2yz=1\).用第一类正交变换将该曲面化为标准型，并指出曲面类型.

二、已知\(A\)是\(n \times n\)的实对称矩阵.证明:对任意的列向量\(\alpha\)都有一个正常数\(c\)使得\({|\alpha}^{'}A\alpha| \leqslant c{\alpha}^{'}\alpha\).

三、求矩阵

\[\left(\begin{array}{ccc}4 & 6 & -15 \\ 1 & 3 & -5 \\ 1 & 2 & -4\end{array}\right)\]

的若尔当标准型.

四、设\(A\)是\(n\)阶非零实对称矩阵，记\(\mathbb{R}^n\)的两个子空间为\(U=\{X \in \mathbb{R}^n \big| AX=0\}\),\(V=\{AX \big| X \in \mathbb{R}^n\}\).证明:\(U\)是\(V\)在\(\mathbb{R}^n\)的正交补空间.

五、设\(A\)为一个\(n\)阶复方阵，\(A\)的特征多项式\(f(\lambda)=(\lambda-{\lambda}_1)^{r_1}(\lambda-{\lambda}_2)^{r_2}\cdots(\lambda-{\lambda}_s)^{r_s}\),其中\({\lambda}_1,{\lambda}_2,\cdots,{\lambda}_s\)互不相同.证明:\(A\)的若尔当标准型中以\({\lambda}_i\)为对角元的若尔当块的个数等于\(V_{\lambda_i}\)的维数.

六、已知\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)与\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m\)为欧氏空间的两组向量.证明:若\((\alpha_i,\alpha_j)=(\beta_i,\beta_j)(i,j=1,2,\ldots,m)\),则子空间\(V_1=L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m )\)与\(V_2=L(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m)\)同构.

七、设\(A,B\)是\(n \times n\)实对称矩阵，\(A\)正定.证明:\(AB\)相似于对角矩阵.又若\(B\)也正定，则\(AB\)的特征值为正实数.